Les Mathématiques Essentielles pour l'IA

import numpy as np

# Deux vecteurs qui représentent des "goûts"
alice = np.array([5, 1, 4, 0])  # Aime action, pas romance, aime SF, pas horreur
bob   = np.array([4, 0, 5, 1])  # Profil similaire à Alice
carol = np.array([0, 5, 1, 4])  # Goûts opposés

# Produit scalaire = mesure de similarité
print(f"Alice · Bob   = {np.dot(alice, bob)}")   # Score élevé (similaires)
print(f"Alice · Carol = {np.dot(alice, carol)}")  # Score bas (différents)

import numpy as np

# Matrice de données : 3 étudiants, 4 notes
notes = np.array([
    [15, 12, 18, 14],  # Étudiant 1
    [8,  16, 10, 13],  # Étudiant 2
    [17, 14, 19, 16],  # Étudiant 3
])

# Opérations de base
print(f"Forme : {notes.shape}")            # (3, 4)
print(f"Moyenne par étudiant : {notes.mean(axis=1)}")
print(f"Moyenne par matière : {notes.mean(axis=0)}")
print(f"Transposée :\n{notes.T}")  # Inverser lignes/colonnes

import numpy as np

# Fonction à minimiser : f(x) = (x - 3)² → minimum en x = 3
def f(x):
    return (x - 3) ** 2

# Dérivée : f'(x) = 2(x - 3)
def gradient(x):
    return 2 * (x - 3)

# Descente de gradient
x = 10.0                # Point de départ (loin du minimum)
learning_rate = 0.1      # Taille du pas

print(f"Départ : x = {x}, f(x) = {f(x)}")

for i in range(20):
    grad = gradient(x)
    x = x - learning_rate * grad  # LA formule clé
    if (i + 1) % 5 == 0:
        print(f"Étape {i+1:2d} : x = {x:.4f}, f(x) = {f(x):.6f}")

print(f"\nRésultat : x ≈ {x:.4f} (optimal = 3.0)")

# Problème : Un email contient le mot "gratuit".
# Est-ce du spam ?

# Données connues
p_spam = 0.3               # 30% des emails sont du spam
p_pas_spam = 0.7            # 70% ne le sont pas
p_gratuit_si_spam = 0.8     # 80% des spams contiennent "gratuit"
p_gratuit_si_pas_spam = 0.1 # 10% des emails normaux contiennent "gratuit"

# Probabilité totale de voir "gratuit"
p_gratuit = (p_gratuit_si_spam * p_spam) + (p_gratuit_si_pas_spam * p_pas_spam)

# Théorème de Bayes : P(spam | "gratuit")
p_spam_si_gratuit = (p_gratuit_si_spam * p_spam) / p_gratuit

print(f"P(spam | 'gratuit') = {p_spam_si_gratuit:.1%}")
# ≈ 77.4% — L'email est probablement du spam

import numpy as np

data = np.array([25000, 28000, 32000, 35000, 42000, 120000])

print(f"Moyenne  : {data.mean():,.0f}€")   # Sensible aux valeurs extrêmes
print(f"Médiane  : {np.median(data):,.0f}€") # Robuste aux outliers
print(f"Écart-type : {data.std():,.0f}€")   # Mesure de la dispersion
print(f"Min/Max  : {data.min():,} - {data.max():,}€")

import numpy as np

# Données : surface (m²) et prix (k€)
surface = np.array([20, 35, 50, 65, 80, 100])
prix    = np.array([95, 160, 240, 310, 380, 480])

correlation = np.corrcoef(surface, prix)[0, 1]
print(f"Corrélation surface/prix : {correlation:.3f}")
# ≈ 0.999 — Corrélation quasi-parfaite